Processing math: 54%

Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс


Определите все пары положительных действительных чисел (α,β) для которых существует функция f:R+R+ удовлетворяющая для всех положительных действительных чисел x уравнению f(f(x))=αf(x)βx. ( Д. Елиусизов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   6
2 года 2 месяца назад #

Ответ: α24β

Пусть c1=0,αck+1=c2k+β. Докажем по индукции, что f(x)>ckx,kN,xR+.

База k=1. f(x)>0=c1x.

Шаг. αf(x)βx=f(f(x))>ckf(x)>c2kx, то есть f(x)>c2k+βαx=ck+1x, что требовалось

Из доказанного утверждения следует, что последовательность ck ограниченна. Пусть s=sup. По определению \forall\epsilon>0\exists n: c_n> s-\epsilon. Поэтому \alpha s\ge\alpha c_{n+1}=c_n^2+\beta> (s-\epsilon)^2+\beta\Rightarrow s^2-\alpha s+\beta<2\epsilon s-\epsilon^2 s^2-\alpha s+\beta\le0 \beta-\frac{\alpha^2}4\le(s-\frac\alpha2)^2+\beta-\frac{\alpha^2}4\le0То есть 4\beta\le\alpha^2. Для таких \alpha,\beta функция f(x)=cx, где c^2=\alpha c-\beta(такое существует, т.к. D=\alpha^2-4\beta\ge0) - подходит.