Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс

Определите все пары положительных действительных чисел $(\alpha, \beta)$ для которых существует функция $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R} ^+$ удовлетворяющая для всех положительных действительных чисел $x$ уравнению $f(f(x))=\alpha f(x)-\beta x.$ ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Ответ: $\alpha^2\ge4\beta$

Пусть $c_1=0, \alpha c_{k+1}=c_{k}^2+\beta$. Докажем по индукции, что $f(x)>c_kx,\forall k\in\mathbb{N},x\in\mathbb{R^+}$.

База $k=1$. $f(x)>0=c_1x$.

Шаг. $\alpha f(x)-\beta x = f(f(x))> c_kf(x)>c_k^2x$, то есть $f(x)>\frac{c_{k}^2+\beta}{\alpha}x=c_{k+1}x$, что требовалось $\square$

Из доказанного утверждения следует, что последовательность $c_k$ ограниченна. Пусть $s=\sup c_k$. По определению $\forall\epsilon>0\exists n: c_n> s-\epsilon.$ Поэтому $$\alpha s\ge\alpha c_{n+1}=c_n^2+\beta> (s-\epsilon)^2+\beta\Rightarrow $$ $$s^2-\alpha s+\beta<2\epsilon s-\epsilon^2$$ $$s^2-\alpha s+\beta\le0$$ $$\beta-\frac{\alpha^2}4\le(s-\frac\alpha2)^2+\beta-\frac{\alpha^2}4\le0$$То есть $4\beta\le\alpha^2$. Для таких $\alpha,\beta$ функция $f(x)=cx$, где $c^2=\alpha c-\beta$(такое существует, т.к. $D=\alpha^2-4\beta\ge0$) - подходит.