Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс
Определите все пары положительных действительных чисел (α,β) для которых существует функция f:R+→R+ удовлетворяющая для всех положительных действительных чисел x уравнению f(f(x))=αf(x)−βx.
(
Д. Елиусизов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: α2≥4β
Пусть c1=0,αck+1=c2k+β. Докажем по индукции, что f(x)>ckx,∀k∈N,x∈R+.
База k=1. f(x)>0=c1x.
Шаг. αf(x)−βx=f(f(x))>ckf(x)>c2kx, то есть f(x)>c2k+βαx=ck+1x, что требовалось ◻
Из доказанного утверждения следует, что последовательность ck ограниченна. Пусть s=sup. По определению \forall\epsilon>0\exists n: c_n> s-\epsilon. Поэтому \alpha s\ge\alpha c_{n+1}=c_n^2+\beta> (s-\epsilon)^2+\beta\Rightarrow s^2-\alpha s+\beta<2\epsilon s-\epsilon^2 s^2-\alpha s+\beta\le0 \beta-\frac{\alpha^2}4\le(s-\frac\alpha2)^2+\beta-\frac{\alpha^2}4\le0То есть 4\beta\le\alpha^2. Для таких \alpha,\beta функция f(x)=cx, где c^2=\alpha c-\beta(такое существует, т.к. D=\alpha^2-4\beta\ge0) - подходит.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.