Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Вписанная в четырехугольник $ABCD$ окружность касается сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ в точках $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. Пусть $P$, $Q$, $R$, $S$ середины сторон $KL$, $LM$, $MN$, $NK$. Докажите что $PR = QS$ тогда и только тогда, когда $ABCD$ вписанный.

Комментарий/решение

Так как $S;P;Q;R$ середины сторон, то по теореме Вариньона $PQRS$-параллелограмм, по условию $PR=QS$ но это возможно тогда, когда $PQRS$-прямоугольник , откуда $MK \perp LN$. Пусть $O_{1} \in MK \cap LN$ тогда $\angle OMN = 90^{\circ} - \angle ONM$, так как $CM$ касательная к вписанной окружности, то $\angle CML = \angle MNL = \angle ONM$ тогда $\angle MCQ = 90^{\circ}-\angle CML = 90^{\circ} - \angle ONM$, так же $\angle KNA = \angle KMN = \angle OMN$ тогда $\angle NAS = 90^{\circ} - \angle OMN$ то есть $\angle BCD + \angle BAD = 180^{\circ}$.