Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып
ABCD төртбұрышына іштей сызылған шеңбер AB, BC, CD, DA қабырғаларын сәйкесінше K, L, M, N нүктелерінде жанайды. P, Q, R, S нүктелері сәйкесінше KL, LM, MN, NK қабырғаларының орталары болсын. PR=QS теңдігі ABCD төртбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бар болуының қажетті және жеткілікті шарты екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Так как S;P;Q;R середины сторон, то по теореме Вариньона PQRS-параллелограмм, по условию PR=QS но это возможно тогда, когда PQRS-прямоугольник , откуда MK⊥LN. Пусть O1∈MK∩LN тогда ∠OMN=90∘−∠ONM, так как CM касательная к вписанной окружности, то ∠CML=∠MNL=∠ONM тогда ∠MCQ=90∘−∠CML=90∘−∠ONM, так же ∠KNA=∠KMN=∠OMN тогда ∠NAS=90∘−∠OMN то есть ∠BCD+∠BAD=180∘.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.