Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып


ABCD төртбұрышына іштей сызылған шеңбер AB, BC, CD, DA қабырғаларын сәйкесінше K, L, M, N нүктелерінде жанайды. P, Q, R, S нүктелері сәйкесінше KL, LM, MN, NK қабырғаларының орталары болсын. PR=QS теңдігі ABCD төртбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бар болуының қажетті және жеткілікті шарты екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   5
7 года 2 месяца назад #

Так как S;P;Q;R середины сторон, то по теореме Вариньона PQRS-параллелограмм, по условию PR=QS но это возможно тогда, когда PQRS-прямоугольник , откуда MKLN. Пусть O1MKLN тогда OMN=90ONM, так как CM касательная к вписанной окружности, то CML=MNL=ONM тогда MCQ=90CML=90ONM, так же KNA=KMN=OMN тогда NAS=90OMN то есть BCD+BAD=180.