Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 8 сынып

$A$, $B$, $C$ сандары үш түрлі тақ цифрлар болсын. $s=\overline{ABC}+\overline{BCA}+\overline{CAB}$ саны үштаңбалы екені белгілі. $s$–ті табыңыздар. ($\overline{abc}$ арқылы көрсетілген ретте $a$, $b$, $c$ цифрларынан тұратын санның ондық жазбасы белгіленеді.)

Комментарий/решение

Так как $s$ трехзначное число, то $A,B,C$ не может быть $7$ или $9$. Значит получим $s=135+351+513=999$.

$s=A \cdot 100+B \cdot 10+C+B \cdot 100+C \cdot 10+A+C \cdot 100+A \cdot 10 +B=111 \cdot \left( A+B+C\right)=999 $ , $\text{ мұндағы } $ $A$, $B$, $C$ - $\text{ сандары тақ және 7-ден кіші.}$ $\text{ Онда}$ $A=1, B=3, C=5$ $\text{ бірінші шешімі, }$ $A=3, B=5, C=1$ $\text{ екінші шешімі, }$ $A=5, B=1, C=3$ $\text{ үшінші шешімі. }$ $\text{ Жауабы: }$ $s=999$

ОТВЕТ:999

Мы можем заметить, то что А B С стоят во всех возможных позициях. То есть в сотнях, десятках, единицах. И мы можем записать следующие:

111А+111B+111С=s

s-это трехзначное число, из-за этого эти числа равны числам: 1 3 5