Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
ω - окружность описанная около △ABC. Пусть отрезок MN пересекает ω в точке K. Тогда N,M,K на одной прямой, и KN - диаметр.
∠NBK=90 поскольку NK диаметр, ∠NMA=90, так как М середина АС. Если ∠IMA=∠INB, то ∠NIB=90−∠IBN=90−∠IMA, и
∠IMN=90−∠IMA. То есть достаточно доказать, что окружность описанная около IMN касается BK, или то, что IK2=KM⋅KN=2⋅R⋅KM, где R - радиус ω. По лемме о трезубце IK=KA=CK. Пусть ∠MKA=x. Заметим, что KM=sinx⋅KA, то есть достаточно доказать утверждение 2⋅R⋅KA⋅sinx=IK2=KA2, 2⋅R⋅sinx=KA=CK, что верно т.к. ∠CBK=∠MKA=x (теорема синусов)
Пусть NP – диаметр описанной окружности. Тогда ∠NBP = ∠NAP = 90°, точка P – середина дуги AC, поэтому ∠ABP = ∠CBP, то есть BP – биссектриса угла ABC. Следовательно, I лежит на BP
Диаметр NP является серединным перпендикуляром к отрезку AC, следовательно, NP проходит через M. Как известно треугольник API – равнобедренный (AP = IP). AM – высота прямоугольного треугольника NAP, поэтому IP : MP = AP : MP = NP : AH = NP : IP. Отсюда следует подобие треугольников PMI и PIN, значит, ∠PMI = ∠PIN.
Но ∠IMA = ∠PMI – 90°, а из прямоугольного треугольника BNI: ∠INB = ∠PIN – IBN = ∠PIN – 90°.
Обозначим через I_A, I_B и I_C центры трех вневписанных окружностей треугольника ABC, а через \omega его описанную окружность. Тогда прямые I_AI_C и BI_B - биссектрисы внешнего и внутреннего угла \angle ABC, стало быть они перпендикулярны. Проведя аналогичные рассуждения с остальными углами треугольника ABC заключаем, что I - точка пересечения высот в треугольнике I_AI_BI_C. Поэтому \omega - окружность девяти точек в треугольнике I_AI_BI_C.
Поскольку N - середина дуги ABC, то внешний угол \angle NBA = \angle NCA = \angle NAC, значит точка N лежит на внешней биссектрисе угла ABC, т.е. на прямой I_AI_C.
Таким образом, образом прямая I_AI_C пересекается с окружностью \omega по точкам B и N. Откуда следует, что N - середина стороны I_AI_C (т.к. \omega - окружность девяти точек в треугольнике I_AI_BI_C). Утверждение задачи следует из того, что IM и IN являются соответствующими медианами в подобных треугольниках I_AII_C и CIA (т.к. I - точка пересечения высот в треугольнике I_AI_BI_C).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.