Processing math: 39%

Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 9 сынып


Кез келген ABC үшбұрышы берілген (AB<BC). AC қабырғасының ортасын M деп белгілейік, ал N нүктесі арқылы B төбесі арқылы өтетін, ABC үшбұрышының сырттай шеңберінің AC доғасының ортасын белгілейік. Егер I нүктесі ABC үшбұрышының іштей сызылған шеңбердің центрі болса онда, IMA=INB екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
8 года 4 месяца назад #

ω - окружность описанная около ABC. Пусть отрезок MN пересекает ω в точке K. Тогда N,M,K на одной прямой, и KN - диаметр.

NBK=90 поскольку NK диаметр, NMA=90, так как М середина АС. Если IMA=INB, то NIB=90IBN=90IMA, и

IMN=90IMA. То есть достаточно доказать, что окружность описанная около IMN касается BK, или то, что IK2=KMKN=2RKM, где R - радиус ω. По лемме о трезубце IK=KA=CK. Пусть MKA=x. Заметим, что KM=sinxKA, то есть достаточно доказать утверждение 2RKAsinx=IK2=KA2, 2Rsinx=KA=CK, что верно т.к. CBK=MKA=x (теорема синусов)

  0
8 года 4 месяца назад #

Опечатка, вместо MKA должно быть MAK

  -1
8 года 4 месяца назад #

Пусть NP – диаметр описанной окружности. Тогда ∠NBP = ∠NAP = 90°, точка P – середина дуги AC, поэтому ∠ABP = ∠CBP, то есть BP – биссектриса угла ABC. Следовательно, I лежит на BP

Диаметр NP является серединным перпендикуляром к отрезку AC, следовательно, NP проходит через M. Как известно треугольник API – равнобедренный (AP = IP). AM – высота прямоугольного треугольника NAP, поэтому IP : MP = AP : MP = NP : AH = NP : IP. Отсюда следует подобие треугольников PMI и PIN, значит, ∠PMI = ∠PIN.

Но ∠IMA = ∠PMI – 90°, а из прямоугольного треугольника BNI: ∠INB = ∠PIN – IBN = ∠PIN – 90°.

  -2
8 года 2 месяца назад #

Обозначим через I_A, I_B и I_C центры трех вневписанных окружностей треугольника ABC, а через \omega его описанную окружность. Тогда прямые I_AI_C и BI_B - биссектрисы внешнего и внутреннего угла \angle ABC, стало быть они перпендикулярны. Проведя аналогичные рассуждения с остальными углами треугольника ABC заключаем, что I - точка пересечения высот в треугольнике I_AI_BI_C. Поэтому \omega - окружность девяти точек в треугольнике I_AI_BI_C.

Поскольку N - середина дуги ABC, то внешний угол \angle NBA = \angle NCA = \angle NAC, значит точка N лежит на внешней биссектрисе угла ABC, т.е. на прямой I_AI_C.

Таким образом, образом прямая I_AI_C пересекается с окружностью \omega по точкам B и N. Откуда следует, что N - середина стороны I_AI_C (т.к. \omega - окружность девяти точек в треугольнике I_AI_BI_C). Утверждение задачи следует из того, что IM и IN являются соответствующими медианами в подобных треугольниках I_AII_C и CIA (т.к. I - точка пересечения высот в треугольнике I_AI_BI_C).

  1
4 года назад #

Опишем окружность под IBN; на AB касается С1; на BC касается U.

По первому Воробью(лемма) доказываем что AC=UC; по второму то что AM/2=AC=UC.

Угол BNI=BUI ибо дуга.

Проводим CI, и получаем сер.пер. с UM.

Значит угол IUC=IMC —-> BUI=IMA——> IMA=BNI.

  0
19 дней 7 часов назад #

Область 2009 9.5

  0
19 дней 3 часов назад #

Всеросс окружной 2005 еще