Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 8 сынып

Дене шынықтыру мұғалімі 29 ұлдан және 31 қыздан тұратын 60 оқушыны ешбір оқушы (ұл не қыз) екі қыздың арасында тұрмайтындай бір сызыққа қойғысы келді. Мұғалімның ойы жүзеге аса ма?

Комментарий/решение

Ответ :не может.

Рассмотрим некоторые случаи. Пусть строй начинается с девочки. Вторым человеком может быть или мальчик или девочка. Если это девочка, то третий обязательно мальчики, в противном случае условие не выполняется. Четвертый - мальчик по той же причине. Так как мальчиков на 2 меньше, то пятым будет девочка. Таким образом они чередуются,но в таком случае девочек и мальчиков поровну, что противоречит условию.

Если второй после направляющей девочки стоит мальчик, то получим тоже самое, но со сдвигом на 1 человека. В таком строю два человека перед последним будут девочки. Чтобы выполнить условие, нужно,чтобы девочек было 31, но в таком случае не выполняется условие в конце строя(3 девочки подряд ). Если же строй начинается с мальчиков,то достигнуть условия не удастся тоже.

Допустим, что удастся. Пронумеруем места, где стоят школьники как $1,2,3,......,60$. Достаточно доказать, что найдутся $2$ девочки стоящие на $n$ и $n+2$ местах, и выйдет противоречие. Разделим места на пары как $1$ и $3$ ; $2$ и $4$...$58$ и $60$

Заметим, что пар у нас $30$, а девочек $31$. По принципу Дирихле найдется пара из двух девочек, что и требовалось доказать. Ответ:нет