Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Ровно $4n$ чисел из множества целых чисел $A=\{1, 2, \ldots, 6n\}$ покрашены в красный цвет, а остальные — в синий. Докажите, что найдется $3n$ последовательных целых чисел из множества $A$, из которых ровно $2n$ окрашены в красный цвет (а остальные $n$ чисел окрашены в синий).

Комментарий/решение

Мысленно разделим множество $А$ на $2$ группы: по $3n$ чисел в каждой. Если в первой группе ровно $2n$ окрашены в красный цвет, то задача решена, БОО в ней $<2n$ красных чисел, тогда во второй группе $>2n$. Пусть $P(k)$ - кол-во красных цветов среди $3n$ чисел (подряд идущих) начиная с k. Обозначим числа множества $А 1, 2, 3, ... 6n$ (именно в этой порядке).

Тогда $P(1)-2n<0$, а $P(3n+1)-2n>0$. Осталось заметить, что функция $P$ у нас дискретно непрерывна, то есть значение меняется на $+-1, 0, \Rightarrow$ нашелся момент, когда $P(m)-2n=0$, ЧТД