Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып
Коэффициенттері бүтін f(x) көпмүшелігі бір натурал k саны үшін f(f(…f(0)…))⏟k− рет=0. теңдігін қанағаттандыратын болса, f(0)=0 немесе f(f(0))=0 екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Определим последовательность an следующим образом:a0=0, f(f(…f(0)…))⏟i−раз=ai, для каждого 1≤i≤k+1. Причем ak+1=a1. Заметим, что ai+1−ai=f(ai)−f(ai−1) ⋮ai−ai−1 для любого 1≤i≤k. Но тогда |ai+1−ai|=C для любого 1≤i≤k, и некоторого C.
Заметим, что сумма внутри всех модулей равна нулю, а при раскрытии число раскрывается либо как С либо как −С. Тогда существует существует v, что av+2−av+1=C,av+1−av=−C, (если C=0, то задача решена). Но тогда av+2=av, и av+3−av+1⋮av+2−av=0. Откуда следует, что av+3=av+1. Поскольку ak=0, то очевидно следует, что a2=ak или ak=a1. Тогда в любом случае a2=f(f(0))=0. Что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.