Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып


Коэффициенттері бүтін f(x) көпмүшелігі бір натурал k саны үшін f(f(f(0)))k рет=0. теңдігін қанағаттандыратын болса, f(0)=0 немесе f(f(0))=0 екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
6 года 8 месяца назад #

Определим последовательность an следующим образом:a0=0, f(f(f(0)))iраз=ai, для каждого 1ik+1. Причем ak+1=a1. Заметим, что ai+1ai=f(ai)f(ai1) aiai1 для любого 1ik. Но тогда |ai+1ai|=C для любого 1ik, и некоторого C.

Заметим, что сумма внутри всех модулей равна нулю, а при раскрытии число раскрывается либо как С либо как С. Тогда существует существует v, что av+2av+1=C,av+1av=C, (если C=0, то задача решена). Но тогда av+2=av, и av+3av+1av+2av=0. Откуда следует, что av+3=av+1. Поскольку ak=0, то очевидно следует, что a2=ak или ak=a1. Тогда в любом случае a2=f(f(0))=0. Что и требовалось доказать.