Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

Шахмат турнирінде $n$ адам ойнайды (мұндағы $n > 1$ — натурал сан). Турнир барысында әрбір ойыншы басқа әрбір ойыншымен дәл бір партия ойнауы тиіс. Әрбір партия үшін ұтқан адамға 1 ұпай, тең ойнаған адамға $0,\!5$ ұпай, ал ұтылған адамға 0 ұпай беріледі. Егер турнир аяқталған соң ойыншы максимал мүмкін ұпай санының $75\%$-нан кем емес ұпай санын жинаса, оған дәреже беріледі. Ең көп дегенде неше ойыншыға дәреже берілуі мүмкін?

Комментарий/решение

Разделим всех участников на две группы: пусть $k$ число людей которые получили разряд и $n-k$ людей, которые разряда не получили.

Каждый игрок сыграет $n-1$ игр, поэтому максимальное количество возможных очков которое может набрать один участник $n-1$.

Заметим что в каждой игре, вне зависимости от результата пара получает в сумме одно очко на двоих.

То есть всего очков $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$. В первой группе каждый получил не менее $\dfrac{3}{4} \cdot (n-1)$, то есть в первой группе количество очков не менее $\dfrac{3}{4} \cdot (n-1)k$.

Во второй группе участники сыграли между собой $\dbinom{n-k}{2}$ матчей, то есть во второй группе количество очков не менее $\dfrac{(n-k)(n-k-1)}{2}$.

Так как сумма очков в первой и во второй группе не превышает общего количества очков получаем неравенство:

$$\dfrac{3}{4} \cdot (n-1)k+\dfrac{(n-k)(n-k-1)}{2} \leq \dfrac{n(n-1)}{2}$$

Откуда $$k \leq \dfrac{n+1}{2}$$

Построить пример никакой трудности не представляет.