Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 9 класс


В треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Обозначим ортоцентры треугольников AC1B1 и CA1B1 через H1 и H2. Докажите, что четырехугольник AH1H2C — вписанный.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   3
9 года 3 месяца назад #

Биссектриса и высота в равнобедренном треугольнике совпадают , то есть AH1;CH2 есть высоты и биссектрисы , значит они пересекаются в центре вписанной окружности. Положим что высоты равны C1M;A1N .Соединим ортоцентры H2H1 , для не обобщения , положим что C1M>A1N, опустим перпендикуляр из точки H2 на прямую C1M , и равна L. H1M=AB1cosAtg(A2),  H2N=CB1cosCtg(C2) так же AB1(1cosA)=MB1,  CB1(1cosC)=NB1,H2L=MN.Учитывая что r-радиус , AB1=rctg(A2),  CB1=rctg(C2). Получим соотношение из ΔH2H1L ,ctg(H2H1M)=tg(CA2) , H2H1M=90oCA2 , H2CN=C2 , AH2M=A2.

То есть выполняется соотношения для четырехугольника AH1H2C=> , H2H1M+AH1M+H2CN=180o.

  5
3 года 2 месяца назад #

Лемма: симметрии ортоцентра H треугольника ΔABC относительно сторон AB,BC,CA будут лежать на описанной окружности этого треугольника.

Пусть BAC=2α и ACB=2β. Тогда понятно что AI и CI делят эти углы пополам. Также ΔAC1B1 и ΔCA1B1 равнобедренные, из этого AI и CI сер. перпендикуляры для C1B1 и A1B1 пересекающие их в M и N соответственно. Тогда A1H1 и I на одной прямой и C1H2, I тоже. Очевидно AB1IC1 - вписанный и CA1IB1- тоже.

Тогда по нашей лемме симметрии H1 и H2 относительно B1C1 и A1B1 переходят в I. Отсюда H1M=MI и H2N=NI. Тогда если B1CA1=2β, то B1C1A1=90β. MN параллельна C1A1 так как она средняя линия ΔB1C1A1.

Тогда B1MN=90β. Также C1B1MI. Тогда IMN=180NMB1C1MI=1809090+β=β.Также MN средняя линия для ΔH1H2I. Значит MNH1H2 и IH1H2=β.

Значит AH1H2=180β. Выходит сумма прот. углов равна 180.

  1
3 года 2 месяца назад #

легенда написала решение без синусов

  9
2 года 1 месяца назад #

Пусть M и N - середины отрезков B1C1 и A1B1. По причинам указанным сверху, A,H1,I,M лежат на одной прямой. А также H1M=IM т.к. H1 - ортоцентр и H1 и I симметрично относительно B1C1. Аналогично IN=NH2. Тогда MN средняя линия треугольника IH1H2, поэтому H1H2MN. Чтобы доказать вписанность AH1H2C, мы хотим доказать, что H1H2 и AC антипарралельны относительно угла AIC. Поэтому достаточно доказать, что MN и AC антипарралельны или же MNAC вписанный. Из AC1I находим, что IM×IA=IC21=r2. Аналогично IN×IC=IC21=r2. Поэтому:

IM×IA=r2=IN×IC

откуда выходит, что MNAC вписанный.