Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып


ABC үшбұрышында іштей сызылған шеңбер BC, CA және AB қабырғаларын сәйкесінше A1, B1 және C1 нүктелерінде жанап өтеді. AC1B1 және CA1B1 үшбұрыштарының ортоцентрлерін сәйкесінше H1 және H2 арқылы белгілесек, онда AH1H2C төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   3
9 года 3 месяца назад #

Биссектриса и высота в равнобедренном треугольнике совпадают , то есть AH1;CH2 есть высоты и биссектрисы , значит они пересекаются в центре вписанной окружности. Положим что высоты равны C1M;A1N .Соединим ортоцентры H2H1 , для не обобщения , положим что C1M>A1N, опустим перпендикуляр из точки H2 на прямую C1M , и равна L. H1M=AB1cosAtg(A2),  H2N=CB1cosCtg(C2) так же AB1(1cosA)=MB1,  CB1(1cosC)=NB1,H2L=MN.Учитывая что r-радиус , AB1=rctg(A2),  CB1=rctg(C2). Получим соотношение из ΔH2H1L ,ctg(H2H1M)=tg(CA2) , H2H1M=90oCA2 , H2CN=C2 , AH2M=A2.

То есть выполняется соотношения для четырехугольника AH1H2C=> , H2H1M+AH1M+H2CN=180o.

  5
3 года 2 месяца назад #

Лемма: симметрии ортоцентра H треугольника ΔABC относительно сторон AB,BC,CA будут лежать на описанной окружности этого треугольника.

Пусть BAC=2α и ACB=2β. Тогда понятно что AI и CI делят эти углы пополам. Также ΔAC1B1 и ΔCA1B1 равнобедренные, из этого AI и CI сер. перпендикуляры для C1B1 и A1B1 пересекающие их в M и N соответственно. Тогда A1H1 и I на одной прямой и C1H2, I тоже. Очевидно AB1IC1 - вписанный и CA1IB1- тоже.

Тогда по нашей лемме симметрии H1 и H2 относительно B1C1 и A1B1 переходят в I. Отсюда H1M=MI и H2N=NI. Тогда если B1CA1=2β, то B1C1A1=90β. MN параллельна C1A1 так как она средняя линия ΔB1C1A1.

Тогда B1MN=90β. Также C1B1MI. Тогда IMN=180NMB1C1MI=1809090+β=β.Также MN средняя линия для ΔH1H2I. Значит MNH1H2 и IH1H2=β.

Значит AH1H2=180β. Выходит сумма прот. углов равна 180.

  1
3 года 2 месяца назад #

легенда написала решение без синусов

  9
2 года 1 месяца назад #

Пусть M и N - середины отрезков B1C1 и A1B1. По причинам указанным сверху, A,H1,I,M лежат на одной прямой. А также H1M=IM т.к. H1 - ортоцентр и H1 и I симметрично относительно B1C1. Аналогично IN=NH2. Тогда MN средняя линия треугольника IH1H2, поэтому H1H2MN. Чтобы доказать вписанность AH1H2C, мы хотим доказать, что H1H2 и AC антипарралельны относительно угла AIC. Поэтому достаточно доказать, что MN и AC антипарралельны или же MNAC вписанный. Из AC1I находим, что IM×IA=IC21=r2. Аналогично IN×IC=IC21=r2. Поэтому:

IM×IA=r2=IN×IC

откуда выходит, что MNAC вписанный.