Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Биссектриса и высота в равнобедренном треугольнике совпадают , то есть AH1;CH2 есть высоты и биссектрисы , значит они пересекаются в центре вписанной окружности. Положим что высоты равны C1M;A1N .Соединим ортоцентры H2H1 , для не обобщения , положим что C1M>A1N, опустим перпендикуляр из точки H2 на прямую C1M , и равна L. H1M=AB1⋅cosA⋅tg(A2), H2N=CB1⋅cosC⋅tg(C2) так же AB1(1−cosA)=MB1, CB1(1−cosC)=NB1,H2L=MN.Учитывая что r-радиус , AB1=r⋅ctg(A2), CB1=r⋅ctg(C2). Получим соотношение из ΔH2H1L ,ctg(H2H1M)=tg(C−A2) , H2H1M=90o−C−A2 , H2CN=C2 , AH2M=A2.
То есть выполняется соотношения для четырехугольника AH1H2C=> , H2H1M+AH1M+H2CN=180o.
Лемма: симметрии ортоцентра H треугольника ΔABC относительно сторон AB,BC,CA будут лежать на описанной окружности этого треугольника.
Пусть ∠BAC=2α и ∠ACB=2β. Тогда понятно что AI и CI делят эти углы пополам. Также ΔAC1B1 и ΔCA1B1 равнобедренные, из этого AI и CI сер. перпендикуляры для C1B1 и A1B1 пересекающие их в M и N соответственно. Тогда A1H1 и I на одной прямой и C1H2, I тоже. Очевидно AB1IC1 - вписанный и CA1IB1- тоже.
Тогда по нашей лемме симметрии H1 и H2 относительно B1C1 и A1B1 переходят в I. Отсюда H1M=MI и H2N=NI. Тогда если ∠B1CA1=2β, то ∠B1C1A1=90−β. MN параллельна C1A1 так как она средняя линия ΔB1C1A1.
Тогда ∠B1MN=90−β. Также C1B1⊥MI. Тогда ∠IMN=180−∠NMB1−∠C1MI=180−90−90+β=β.Также MN средняя линия для ΔH1H2I. Значит MN∥H1H2 и ∠IH1H2=β.
Значит ∠AH1H2=180−β. Выходит сумма прот. углов равна 180. ◼
Пусть M и N - середины отрезков B1C1 и A1B1. По причинам указанным сверху, A,H1,I,M лежат на одной прямой. А также H1M=IM т.к. H1 - ортоцентр и H1 и I симметрично относительно B1C1. Аналогично IN=NH2. Тогда MN средняя линия треугольника IH1H2, поэтому H1H2∥MN. Чтобы доказать вписанность AH1H2C, мы хотим доказать, что H1H2 и AC антипарралельны относительно угла ∠AIC. Поэтому достаточно доказать, что MN и AC антипарралельны или же MNAC вписанный. Из △AC1I находим, что IM×IA=IC21=r2. Аналогично IN×IC=IC21=r2. Поэтому:
IM×IA=r2=IN×IC
откуда выходит, что MNAC вписанный.◼
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.