Математикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып

Екі шеңбер $N$ нүктесінде іштей жанасады. Сыртқы шеңбердің $BA$ және $BC$ хордалары ішкі шеңберді сәйкесінше $K$ және $M$ нүктелерінде жанайды. $N$ нүктесі жатпайтын $AB$ және $BC$ доғаларының орталарын сәйкесінше $Q$ және $P$ деп белгілейік. $BQK$ және $BPM$, үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $B_1 \ne B$ нүктесінде қиылысады. $BPB_1Q$ төртбұрышының параллелограмм екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Утверждение: $N$, $K$, $Q$ на одной прямой и $N$, $M$, $P$ тоже.

$\angle ANQ=\angle QNB=\angle QBA=\angle QB_{1}K=\beta$

$\angle BNP=\angle PNC= \angle PBC=\angle PB_{1}M=\alpha$

$\angle ABC=180-2(\beta+\alpha)$

$\angle QBP=180-(\alpha+\beta)=\angle QB_{1}P$

$AK=AM$ $\rightarrow$ $\angle BKM=\angle BMK= \angle BQB_{1}=BPB_{1}$

Получаем у четырехугольника $BQPB_{1}$ противоположенные углы равны значит он параллелограмм.

фактанул