Математикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасын ${{A}_{1}}$ нүктесінде, ал сырттай сызылған шеңберді ${{A}_{0}}$ нүктесінде қияды. ${{C}_{1}}$ және ${{C}_{0}}$ нүктелері де осыған ұқсас анықталған. ${{A}_{0}}{{C}_{0}}$ және ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. Онда $PI$ түзуінің $AC$ қабырғасына параллель екенін дәлелдеңдер, мұндағы $I$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі.

Комментарий/решение

Как было разобрано тут решим обратную задачу, пусть нам известно что $PI$ параллельна $AC$ тогда докажем что $P,C_{1},A_{1}$ лежат на одной прямой, зная что из вышеописанной задачи $PB$ касательная и $PB=PI$.

По теореме Менелая для секущей $PA_{1}$ и $IA_{0}C_{0}$ получаем

$\dfrac{A_{0}A_{1}}{IA_{1}} \cdot \dfrac{IC_{1}}{C_{0}C_{1}} = \dfrac{PA_{0}}{PC_{0}}$

Учитывая $A_{0}C=A_{0}I$ получаем $\dfrac{A_{0}A_{1}}{IA_{1}} = \dfrac{A_{0}I}{IC} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\angle A}{2}}{ \sin \dfrac{\angle C}{2}} = \dfrac{A_{0}I}{IC} \cdot \dfrac{IA_{0}}{IC_{0}}$

Аналогично $\dfrac{IC_{1}}{C_{0}C_{1}} = \dfrac{IC}{A_{0}I} \cdot \dfrac{IA_{0}}{IC_{0}}$ умножая получаем $(\dfrac{IA_{0}}{IC_{0}})^2 = \dfrac{PA_{0}}{PC_{0}}$ помня что $PB$ касательная, по свойству касательной $PA_{0} = \dfrac{PB^2}{PC_{0}}$ подставляя $\dfrac{IA_{0}}{IC_{0}} = \dfrac{PI}{PC_{0}}$ которая следует из подобия треугольников $PIC_{0}, PIA_{0}$