Математикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып

Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышы берілген. Оның $AB$ және $CD$ қабырғаларының, сәйкесінше $B$ және $C$ төбелерінің арғы жағына, созындылары $M$ нүктесінде қиылысады. $M$-нан $AC$ және $BD$ диагоналдарына түсірілген перпендикулярлардың табандарын сәйкесінше $P$ және $Q$ деп белгілейік. $KPQ$ үшбұрышының бұрыштарын табыңдар, мұндағы $K$ нүктесі — $AD$ қабырғасының ортасы.

Комментарий/решение

Можно по формуле медиан для треугольника $AQD$ будет $4QK^2=2AQ^2+2QD^2-AD^2$ так же и для медианы $PK$ треугольника $APD$ откуда требуется доказать что $AQ^2+DQ^2=AP^2+PD^2$ из условия следует что $\angle AMQ = \angle PMD$ выражая $MQ=MD \cdot \sin \angle BAC$ и $MA=\dfrac{MP}{\sin \angle BAC}$ и $DQ = MD \cos \angle BAC$ откуда по теореме косинусов $AQ^2+DQ^2 = (MD \sin \angle BAC)^2+(\dfrac{MP}{\sin \angle BAC})^2-2MD \cdot MP \cos \angle AMQ + (MD \cdot \cos \angle BAC)^2$

И второй $PD^2+AP^2 = MP^2+MD^2 -2MP \cdot MD + (MP ctg \angle BAC)^2$

Приравнивая $\dfrac{1}{sin^2 \angle BAC } = 1+ctg^2\angle BAC$ которое верно, значит $QK=PK$

Пусть $A_1$ , $D_1$ середины $MD$ , $MA$ соответсвенно. Тогда $$KA_1=AM/2=PD_1$$ $$KD_1=DM/2=QA_1$$ Заметим, что $$\angle KA_1Q=180-\angle KA_1D-\angle QA_1M=180-\angle KD_1A-\angle PD_1M=\angle KD_1P$$

$$(\angle PD_1M=2\angle BAC=2\angle BDC=\angle QA_1M)$$

Откуда $\triangle KA_1Q=\triangle PD_1K\implies KP=KQ$