Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып
α2+β2=α3+β3 тендеуін қанағаттандыратын рационал сандардың барлық (α,β) жұптарын табыңдар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ α=γ⋅γ2+1γ3+1;β=γ2+1γ3+1 где γ− любое число; кроме того α=0;β=0
1) Заметим, что если α<0;β<0, то уравнение не будет выполнено. Действительно, α2+β2>0;α3+β3<0;
2) Пусть α=γ⋅β. С учетом этого трансформируем уравнение
α2+β2=α3+β3→(γ⋅β)2+β2=(γ⋅β)3+β3
3) Решим уравнение (2) относительно β
(γ3+1)⋅β3−(γ2+1)⋅β2=0
β2(βγ3+β−γ2−1)=0
Корень β=0 соответствует α=0;β=0;, что удовлетворяет уравнению
4) Из (3) можно получить еще корень
βγ3+β−γ2−1=0→β=γ2+1γ3+1
Откуда следует, что
α=γ⋅γ2+1γ3+1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.