Processing math: 100%

Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып


α2+β2=α3+β3 тендеуін қанағаттандыратын рационал сандардың барлық (α,β) жұптарын табыңдар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
3 года 9 месяца назад #

Ответ α=γγ2+1γ3+1;β=γ2+1γ3+1 где γ любое число; кроме того α=0;β=0

1) Заметим, что если α<0;β<0, то уравнение не будет выполнено. Действительно, α2+β2>0;α3+β3<0;

2) Пусть α=γβ. С учетом этого трансформируем уравнение

α2+β2=α3+β3(γβ)2+β2=(γβ)3+β3

3) Решим уравнение (2) относительно β

(γ3+1)β3(γ2+1)β2=0

β2(βγ3+βγ21)=0

Корень β=0 соответствует α=0;β=0;, что удовлетворяет уравнению

4) Из (3) можно получить еще корень

βγ3+βγ21=0β=γ2+1γ3+1

Откуда следует, что

α=γγ2+1γ3+1