Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып

$a$, $b$ және $c$ — берілген нақты оң сандар. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $$\dfrac{1}{a+ab+abc}+\dfrac{1}{b+bc+abc}+\dfrac{1}{c+ac+abc}\le \dfrac{1}{3\sqrt[3]{abc}}\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right).$$

Комментарий/решение

$$ \frac{1}{a+ab+abc}+\frac {1}{b+bc+ac}+\frac {1}{c+ac+abc}\leq $$

$$\leq\frac{1}{3\sqrt [3]{a^3b^2c}}+\frac{1}{3\sqrt [3]{b^3c^2a}}+\frac{1}{3\sqrt [3]{c^3a^2b}}=\frac{1}{3\sqrt [3]{abc}}\Big ( \frac {1}{\sqrt [3]{a^2b}}+\frac{1}{\sqrt [3]{b^2a}}+\frac{1}{\sqrt [3]{c^2a}}\Big)\leq $$

$$\leq \frac {1}{3\sqrt [3]{abc}}\Big( \frac{1}{3}\Big (\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\Big)+\frac{1}{3}\Big (\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)+\frac{1}{3}\Big (\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\Big)\Big)=\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}\Big( \frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}\Big).$$