Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

В тетраэдре $ABCD$ из вершины $A$ опустили перпендикуляры $AB'$, $AC'$, $AD'$ на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах $CD$, $BD$, $BC$ пополам. Докажите, что плоскость $(B'C'D')$ параллельна плоскости $(BCD)$.

Комментарий/решение

По одному из следствий леммы 255: $B'$ лежит плоскости, содержащей среднюю линию треугольника $ABC$, параллельной плоскости $BCD$, $C'$ лежит плоскости, содержащей среднюю линию $ACD$, параллельной плоскости $BCD$, $D'$ лежит плоскости, содержащей среднюю линию $ADB$ параллельной плоскости $BCD$, значит плоскости $(B'C'D')$ и $(BCD)$ параллельны.