Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств. Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

Комментарий/решение

Рассмотрим числа от 100 до 200. Так как их всего 101, то какие-то три из них попадут в одно множество. Сумма любых двух из этих трёх чисел больше 200, и, следовательно, больше третьего числа. Значит, существует треугольник с соответствующими длинами сторон.