Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle A = 45^\circ$, а высоты $BB_1$, и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что прямые $BC$, $B_1C_1$ и прямая $l$, проходящая через точку $A$ перпендикулярно $AC$, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $H$ — середина отрезка $BB_1$.

Комментарий/решение

Пусть $AE || BB_{1}$ где $E \in BC$ пусть $X \in B_{1}E \cap AB$ тогда нужно доказать что $\dfrac{AX}{BX} = \dfrac{AC_{1}}{BC_{1}}$ когда $H$ середина $BB_{1}$ по теореме Менелая для секущей $BE$ получаем $\dfrac{AX}{BX}=\dfrac{CE}{BE} \cdot \dfrac{AB_{1}}{CB_{1}} = \dfrac{CA}{AB_{1}} \cdot \dfrac{AB_{1}}{CB_{1}} = \dfrac{CA}{CB_{1}}$ по той же теореме для секущей $CC_{1}$ откуда $\dfrac{AC_{1}}{BC_{1}}=\dfrac{CA}{CB_{1}}$