Математикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып

Сүйірбүрышты $ABC$ үшбұрышында $\angle A=45{}^\circ $, ал $B{{B}_{1}}$ және $C{{C}_{1}}$ биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. Оңда $BC$, ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері мен $A$ нүктесі арқылы өтетін $AC$-ға перпендикуляр $l$ түзүінің бір нүктеде қиылысуы үшін $H$-тың $B{{B}_{1}}$ кесіндісінің ортасы болуы қажет және жеткілікті екенін дәлелденіздер.

Комментарий/решение

Пусть $AE || BB_{1}$ где $E \in BC$ пусть $X \in B_{1}E \cap AB$ тогда нужно доказать что $\dfrac{AX}{BX} = \dfrac{AC_{1}}{BC_{1}}$ когда $H$ середина $BB_{1}$ по теореме Менелая для секущей $BE$ получаем $\dfrac{AX}{BX}=\dfrac{CE}{BE} \cdot \dfrac{AB_{1}}{CB_{1}} = \dfrac{CA}{AB_{1}} \cdot \dfrac{AB_{1}}{CB_{1}} = \dfrac{CA}{CB_{1}}$ по той же теореме для секущей $CC_{1}$ откуда $\dfrac{AC_{1}}{BC_{1}}=\dfrac{CA}{CB_{1}}$