Математикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышының $AB$ және $BC$ қабырғаларынан сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелері алынған, ал $M$ — $AL$ және $CK$ кесінділерінің қиылысу нүктесі. Егер $AKLC$ және $KBLM$ төртбұрыштарына радиустары тең, сырттай шеңберлер сызылғандығы белгілі болса, $\angle ABC$ бұрышының мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

$\angle BKM=\alpha$ , тогда $\angle BLM = 180^{\circ}-\alpha$ , откуда $\angle AKC = \angle ALC$ как вписанные , то есть $\alpha = 90^{\circ}$ , получим что $CK;CL$ высоты треугольника $ABC$ , значит $\angle BKL = \angle ACB$ , так как радиус описанных окружностей равны , получим $AL=BL$ , $\angle ABC=45^{\circ}$