Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып


ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбер BC қабырғасымен A нүктесінде жанасады. AA түзуі ω-ны екінші рет P нүктесінде қияды. CP және BP ω-ны екінші рет сәйкесінше N және M нүктелерінде қияды. AA,BN және CM түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   5
3 года 8 месяца назад #

Пусть B,C так же точки касания окружности со сторонами треугольника и AC=x, AB=y, AB=z .

По т. косинусов (x+y)2+(x+z)22(x+y)(x+z)cosACB=(y+z)2 откуда cosACB=x2+xy+xzyz(x+y)(x+z)

Тогда по той теореме в ACA получается AA=y(xy+4xz+yzx+z по теореме о касательной AP=4xyzy(xy+4xz+yz)(x+z)

Таким же методом , но зная AP откуда CP=xxy+4xz+9yzxy+4xz+yz и CN=xxy+4xz+yzxy+4xz+9yz откуда CNPN=xy+4xz+yz8yz аналогично BMPM=yz+4xz+xy8xy по теореме Чевы CNPMzPNBMx=1 откуда BN,CM,AA пересекаются в одной точке .

  1
9 месяца 16 дней назад #

(M,P;A,C)=(N,P;B,A)=1, где B,C - касания ω и CA,AB.

MCPA=MAPC,NBPA=NAPBPBNAMCPA=BNAMCPPA,

PBNAMC=BNAMCP,

откуда по теореме Чевы NC,MB,AA пересекаются в одной точке. Обратный Паскаль на BCNCBM дает, что он вписан в конику. Паскаль в обратном порядке BNCCMB дает нужный результат.