Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ және $\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ тізбектері келесі ережемен анықталады: ${{a}_{0}}={{b}_{0}}=0$, ${{a}_{n}}=a_{n-1}^{2}+3$, ${{b}_{n}}=b_{n-1}^{2}+{{2}^{n}}$. Қайсысы үлкен — ${{a}_{2003}}$ пе әлде ${{b}_{2003}}$ пе?

Комментарий/решение

$Ответ:a_{2003}$

Докажем по индукции что $a_{n}>b_{n}+2^n$ для $n>2$. Очевидно что База при $n=3$ верна. Пусть верно для $n=k$, тогда $a_{k}>b_{k}+2^k$. Тогда $a_{k+1}=a_{k}^2+3>b_{k}^2+2^{k+1}b_{k}+2^{2k}+3>b_{k}^2+2^k+2^{k+1}=b_{k+1}+2^{k+1}$, что и требовалось доказать.