Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс
Пусть O — центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны BC. Пусть M — середина AC, и P — точка пересечения MO и BC. Докажите, что AB=BP, если ∠BAC=2∠ACB.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Кондово, ∠BAC=2α , тогда ΔALC-равнобедренный (L ∈AO∩BC) , AY-касательная к окружности, Y∈AC. То что AB=BP вытекает из того что AP биссектриса ΔACL. Тогда из свойств биссектрисы, после преобразований должно выполнятся условие AC=(CP+LP)⋅CPLP (1) . Докажем это, из свойства вневписанной окружности, получим YM=AB+BC2 , то OY=AC⋅BC⋅sinαAB+AC−BC , из прямоугольного треугольника ΔMOY , ∠tgMOY=tg∠PML=YMOY=12sinα.
Откуда PL=AC4cos2α+2cosα и CP=AC2cosα+1 , откуда и следует верность тождества (1).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.