Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс


Пусть O — центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны BC. Пусть M — середина AC, и P — точка пересечения MO и BC. Докажите, что AB=BP, если BAC=2ACB.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
8 года 11 месяца назад #

Кондово, BAC=2α , тогда ΔALC-равнобедренный (L AOBC) , AY-касательная к окружности, YAC. То что AB=BP вытекает из того что AP биссектриса ΔACL. Тогда из свойств биссектрисы, после преобразований должно выполнятся условие AC=(CP+LP)CPLP (1) . Докажем это, из свойства вневписанной окружности, получим YM=AB+BC2 , то OY=ACBCsinαAB+ACBC , из прямоугольного треугольника ΔMOY , tgMOY=tgPML=YMOY=12sinα.

Откуда PL=AC4cos2α+2cosα и CP=AC2cosα+1 , откуда и следует верность тождества (1).