Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып


O нүктесі ABC үшбұрышына сырттай-іш сызылған, BC қабырғасын жанайтын шеңбердің центрі болсын. M нүктесі AC-ның ортасы, ал P нүктесі MO және BC түзулердің қиылысу нүктесі. Егер BAC=2ACB шарты орындалатын болса, оңда AB=BP екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
8 года 11 месяца назад #

Кондово, BAC=2α , тогда ΔALC-равнобедренный (L AOBC) , AY-касательная к окружности, YAC. То что AB=BP вытекает из того что AP биссектриса ΔACL. Тогда из свойств биссектрисы, после преобразований должно выполнятся условие AC=(CP+LP)CPLP (1) . Докажем это, из свойства вневписанной окружности, получим YM=AB+BC2 , то OY=ACBCsinαAB+ACBC , из прямоугольного треугольника ΔMOY , tgMOY=tgPML=YMOY=12sinα.

Откуда PL=AC4cos2α+2cosα и CP=AC2cosα+1 , откуда и следует верность тождества (1).