Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып
O нүктесі ABC үшбұрышына сырттай-іш сызылған, BC қабырғасын жанайтын шеңбердің центрі болсын. M нүктесі AC-ның ортасы, ал P нүктесі MO және BC түзулердің қиылысу нүктесі. Егер ∠BAC=2∠ACB шарты орындалатын болса, оңда AB=BP екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Кондово, ∠BAC=2α , тогда ΔALC-равнобедренный (L ∈AO∩BC) , AY-касательная к окружности, Y∈AC. То что AB=BP вытекает из того что AP биссектриса ΔACL. Тогда из свойств биссектрисы, после преобразований должно выполнятся условие AC=(CP+LP)⋅CPLP (1) . Докажем это, из свойства вневписанной окружности, получим YM=AB+BC2 , то OY=AC⋅BC⋅sinαAB+AC−BC , из прямоугольного треугольника ΔMOY , ∠tgMOY=tg∠PML=YMOY=12sinα.
Откуда PL=AC4cos2α+2cosα и CP=AC2cosα+1 , откуда и следует верность тождества (1).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.