Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып
Кез келген нақты x1,x2,…,xn сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:
x11+x12+x21+x12+x22+⋯+xn1+x12+⋯+xn2<√n.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
КБШ теңсіздігі бойынша:
a1+a2+...+an≤√1+1+...+1⏟n⋅√a21+a22+...+a2n=√n⋅√a21+a22+...+a2n.
ak=xk1+x21+...+x2k, k=1,2,...,n деп аламыз, сонда теңсіздік:
x11+x21+x21+x21+x22+...+xn1+x21+x22+...+x2n≤√n⋅√(x11+x21)2+...+(xn1+x21+...+x2n)2
Енді √n⋅√(x11+x21)2+...+(xn1+x21+...+x2n)2<√n,
(x11+x21)2+...+(xn1+x21+...+x2n)2<1 теңсіздігін дәлелдеу керек.
(xk1+x21+...+x2k)2=x2k(1+x21+...+x2k)2≤x2k(1+x21+...+x2k−1)(1+x21+...+x2k)=11+x21+...+x2k−1−11+x21+...+x2k.
(11+x21)2≤1−11+x21.
Осы теңсіздіктерді қоссақ: 1−11+x21+11+x21−11+x21+x22+11+x21+x22−...+11+x21+...+x2n−1−11+x21+...+x2n=1−11+x21+...+x2n
∑nk=1(11+x21+...+x2n)2≤1−11+x21+...+x2n<1.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.