Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып


Кез келген нақты x1,x2,,xn сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: x11+x12+x21+x12+x22++xn1+x12++xn2<n.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 8 месяца назад #

КБШ теңсіздігі бойынша:

a1+a2+...+an1+1+...+1na21+a22+...+a2n=na21+a22+...+a2n.

ak=xk1+x21+...+x2k, k=1,2,...,n деп аламыз, сонда теңсіздік:

x11+x21+x21+x21+x22+...+xn1+x21+x22+...+x2nn(x11+x21)2+...+(xn1+x21+...+x2n)2

Енді n(x11+x21)2+...+(xn1+x21+...+x2n)2<n,

(x11+x21)2+...+(xn1+x21+...+x2n)2<1 теңсіздігін дәлелдеу керек.

(xk1+x21+...+x2k)2=x2k(1+x21+...+x2k)2x2k(1+x21+...+x2k1)(1+x21+...+x2k)=11+x21+...+x2k111+x21+...+x2k.

(11+x21)2111+x21.

Осы теңсіздіктерді қоссақ: 111+x21+11+x2111+x21+x22+11+x21+x22...+11+x21+...+x2n111+x21+...+x2n=111+x21+...+x2n

nk=1(11+x21+...+x2n)2111+x21+...+x2n<1.