Районная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 9 класс

Какое наибольшее количество прямых можно провести на плоскости так, чтобы каждая прямая пересекала ровно четыре другие?

Комментарий/решение

Ответ :8

Решение. Непараллельные прямые пересекаются, из чего делаем вывод, что если взять некоторую прямую и 5 прямых,непараллельных ей, то получим, что эта некоторая прямая будет пересечена в 5 точках. Это противоречит условию, поэтому максимально количество прямых ,не параллельных данной -4. Теперь определим количество прямых,параллельных данной. Очевидно, что прямая, параллельная той,которая пересекает $n$ прямых,тоже пересечет $n$ прямых. Поэтому количество прямых, параллельных данной-3.Общее количество прямых равно $4+3+1=8$