Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып


Жазықтықта n нүкте орналасқан (n4). Кез келген екі нүктесінің арақашықтығы бүтін сан болып табылады. Әрқайсысы 3-ке бөлінетін, кем дегенде 1/6 арақашықтық табылатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
5 года 3 месяца назад #

1) Докажем что если существует четыре точки, расстояния между любыми двумя из них целое число, то найдется как минимум 1 отрезок, кратный 3.

Пусть на плоскости имеются точки, с координатами A(0,0),D(x,0),B(a,b),C(c,d) где x целое.

Тогда AC2=c2+d2=k2, AB2=a2+b2=t2, BC2=(ac)2+(bd)2=m2, CD2=(cx)2+d2=n2, BD2=(ax)2+b2=z2

Решая систему и находя z2=t2+x2± (m+tk)(k+mt)(km+t)(k+m+t)(n+xk)(k+nx)(kn+x)(k+n+x)+(k2n2+x2)(k2m2+t2)2k2

Преобразовывая

2(kz)2+(tx)2+(mn)2+(kt)2+(kx)2+k4=2(kt)2+2(kx)2+(km)2+(kn)2+(mx)2+(tn)2±(m+tk)(k+mt)(km+t)(k+m+t)(n+xk)(k+nx)(kn+x)(k+n+x)

Если k,t,m,n,z,x числа не кратны 3 то выражение (m+tk)(k+mt)(km+t)(k+m+t)(n+xk)(k+nx)(kn+x)(k+n+x)=3v кратно 3 но

2(kz)2+(tx)2+(mn)2+(kt)2+(kx)2+k4 2+1+1+1+1+11 mod 3 и

2(kt)2+2(kx)2+(km)2+(kn)2+(mx)2+(tn)2 2+2+1+1+1+12 mod 3

То есть получаем 12+3v mod 3 что неверно , значит хотя бы одно из k,t,m,n,z,x кратно 3.

2)

Прономеруем вершины как 1,2,3,4,5,...,n и разобьём его на четырёхугольники 1234,1235,1236,...,(n3)(n2)(n1)n всего их C4n=(n3)(n2)(n1)n24, пусть X1Y1=s1 где слева возрастающие вершины к примеру 12, справа их количество во всех возможных четырёхугольниках,так же учитывается количество не повторение вершин в четырёхугольнике чтобы не считать их повторно, то есть для некоторого X2Y2=s2 где одна из вершин может совпадать с одной из предыдущей X1Y2=s2, учитываем что X1Y1,X2Y2 не образуют один и тот же четырёхугольник, аналогично для третьей пары, учитывается два предыдущих.

Значит надо минимизировать количество таких парных вершин и чтобы в сумме s1+...st=C4n.

Пусть количество точек (вершин) четна, тогда выбирая первую любую пару, сумма всегда будет постоянна s1=1+...+(n3)=(n2)(n3)2, очевидно если s1>s2,...,st так как вершины расположены по возрастанию и всевозможно, значит чем больше s тем меньше отрезков понадобится.

Возьмём произвольную пару XY тогда A=s=(n2)(n3)2 если выбрать X1Y1 где одна из вершин будет совпадать то s1s2>1 так как при упорядочивании на одну пустую вершину будет претендовать другие (по возрастанию), аналогично и для третьей, значит максимальный набор из s возможен, если разбить n точек по парам всего n2 и тогда когда вершины не будут иметь общих нумерации, то есть 12,34,56,...,(n1)n тогда B=s1+s2+...+st=n2=A+A1+A2+A3+...An2+1=n(n2)(n3)41+n212(n21)=n(n2)(2n7)8

Тогда для произвольной паре (назовем ее «остаточной») всегда будем получать постоянную для него s сумму, так как при выше приведённой структуре расположении будут «затрагиваться» всегда две вершины из набора 12,34,.., откуда st+1=s1((n3)+(n4)+n22)=(n4)(n6)2, тогда для последующих будет выполнятся st+1st+2 так как для них увеличивается число сходных вершин, тогда остаток для заполнении другими вершинами Z=C4nB=n(n2)(n4)(n6)24, значит минимальное количество вершин будет не меньше чем Z(n4)(n6)2+n2C2n6 решая неравенство получаем что это верно при n4.

Практический аналогично для n нечётных, только для «остаточного члена» выбираем 1n так как при данном выборе s для него максимизируется (значит минимизируется количество парных вершин) потому что последняя вершина n не входит не в одну парных вершин при наборе 12,34,..., все сводится к решению (n1)(n+3)12n(n1)2 которая верна для n4.

  2
5 года 3 месяца назад #

Число отрезков кратных 3 не равно числу четырёхугольников. Потому что один отрезок может быть стороной для нескольких четырёхугольника.

  1
5 года 3 месяца назад #

Благодарю.