Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып

Центрі $O$ нүктесі болатын шеңбер берілген. Оның бойында жатқан $A$ және $B$ нүктелері диаметр құрамайды. Шеңбер бойынан $AC$ түзуі $OB$ кесіндісін қақ бөлетіндей $C$ нүктесі таңдап алынған. $AB$ және $OC$ түзулері $D$ нүктесінде, ал $BC$ мен $AO$ түзулері $F$ нүктесінде қиылысады. $AF=CD$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$R$ - радиус окружности $\omega$ , и $H \in AO \cap \omega$ , $ E \in AC \cap BO$ , докажем что $DF || BO$ или то что справедливо соотношение $\dfrac{AO}{AF} = \dfrac{AB}{AD}$ или $\dfrac{R+HF}{R} = \dfrac{BD}{AB}$ по теореме Менелая для секущей $DO$ выполняется

$$\dfrac{R}{R+HF} \cdot \dfrac{CF}{BC} \cdot \dfrac{BD}{AD} = 1 $$ но по той же теореме для секущей $AC$ (учитывая что $BE=OE$) выполняется $$\dfrac{CF}{BC} = \dfrac{2R+HF}{R}$$ подставляя в верхнее соотношение $\dfrac{R+HF}{R}=\dfrac{BD}{AB}$ .

Значит $CF=DF$ так как $OB=OC$ радиусы , откуда $\dfrac{DF}{AF} = \dfrac{BO}{AO}=1$ значит $AF=DF=CD$ .