Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 10 сынып

$O$ нүктесі шеңбердің центрі болсын. Бір-біріне тең $AB$ және $CD$ хордалары $AL > LB$ және $DL > LC$ болатындай $L$ нүктесінде қиылысады. $AL$ және $DL$ кесінділерінің бойынан $\angle ALC=2\angle MON$ теңдігі орындалатындай етіп сәйкес $M$ және $N$ нүктелері таңдап алынған. $M$ және $N$ нүктелері арқылы өтетін шеңбер хордасының $AB$ және $CD$ хордаларына тең болатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Из условия выходит что $ACBD$ - равнобедренная трапеция $AD \ || BC$.

Проведем окружности с $R=OF=OE , \ F \in AB , \ E \in CD$ - они же перпендикуляры к $AB,CD$ соответственно. Тогда любые касательные $MN$ к данной окружности удовлетворяют $\angle ALC = 2\angle MON$, так как $MO, \ NO$ биссектриса $AMN, \ MNE$ тогда $$\angle ALC= \angle LMN + \angle LNM = 180^{\circ} - 2\angle OMN + 180^{\circ} - 2\angle ONM = 2(180-\angle OMN-\angle ONM) = 2\angle MON$$

Если $G$ точка касания $MN$ с этой окружностью, тогда $OF=OG$ тогда хорда проходящая через $MN$ равна $AB,CD$