Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

На сфере с радиусом 1 дана точка $P$. Три взаимно перпендикулярные луча, выходящие из точки $P$, пересекают сферу в точках $A$, $B$ и $C$. Докажите, что все такие возможные плоскости $ABC$ проходят через фиксированную точку, и найдите максимальную возможную площадь треугольника $ABC$.