Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 10 сынып
m және n натурал сандары келесі шартты қанағаттандырады: m санының ондық санау жүйесіндегі жазылымының оң жағына n санының ондық санау жүйесіндегі жазылымын жалғасақ, (m+n)2 санының ондық санау жүйесіндегі жазылымы шығады. Егер n саны m санына бөлінетіні белгілі болса, онда nm=6 екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть n=m⋅s, и 10k+1>m⋅s≥10k, тогда (m+m⋅s)2=10k+1⋅m+n или m⋅(s+1)2−s=10k+1⇔m⋅s2+2⋅m⋅s+m−s=10k+1. Заметим, что m⋅s2+2⋅m⋅s+m−s>s2⋅m≥10k⋅s, стало быть s<10, а также если s нечетное, то m⋅s2+2⋅m⋅s+m−s - нечетное, но 10k+1 - четное. Значит s - четное. Осталось перебирать случаи s=2,4,6,8. Если s=2, то 9⋅m−2=10k+1, что очевидно невозможно (mod9). Если s=4, то 25⋅m−4=10k+1, что невозможно по модулю 25. Если же s=8, то 81⋅m−8=10k+1, что снова невозможно по модулю 81(легко убедиться, заметив, что 10^{9} \equiv 1 \pmod {81}. Значит s=6.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.