Processing math: 75%

Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 10 сынып


m және n натурал сандары келесі шартты қанағаттандырады: m санының ондық санау жүйесіндегі жазылымының оң жағына n санының ондық санау жүйесіндегі жазылымын жалғасақ, (m+n)2 санының ондық санау жүйесіндегі жазылымы шығады. Егер n саны m санына бөлінетіні белгілі болса, онда nm=6 екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
7 года 5 месяца назад #

Пусть n=ms, и 10k+1>ms10k, тогда (m+ms)2=10k+1m+n или m(s+1)2s=10k+1ms2+2ms+ms=10k+1. Заметим, что ms2+2ms+ms>s2m10ks, стало быть s<10, а также если s нечетное, то ms2+2ms+ms - нечетное, но 10k+1 - четное. Значит s - четное. Осталось перебирать случаи s=2,4,6,8. Если s=2, то 9m2=10k+1, что очевидно невозможно (mod9). Если s=4, то 25m4=10k+1, что невозможно по модулю 25. Если же s=8, то 81m8=10k+1, что снова невозможно по модулю 81(легко убедиться, заметив, что 10^{9} \equiv 1 \pmod {81}. Значит s=6.

  0
3 года 1 месяца назад #

"Если же s=8, то 81*m-8=10^{k+1}, что снова невозможно по модулю 81"

При k=7 выполняется равенство 81*m-8=10^{k+1}, так как (10^8+8) делится на 81.