Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып

${{2}^{a}}\cdot {{3}^{b}}-{{3}^{b+1}}+{{2}^{a}}=13$ теңдеуінің теріс емес бүтін шешімдерін табыңыздар.

Комментарий/решение

Ответ:$a=2, b=1;a=2,b=2$

Решение. Преобразуем уравнение. $$3^b(2^a-3)+2^a=13$$ Получим, что $3^b(2^a-3)> 0$. Пусть будет не так. $a=0$ . Получим $-2*3^b=12$, чего быть не может. А это значит, что $а<4$. $3^b(2^a-3)$ делится на 3 без остатка. А это значит, что $2^a$ имеет остаток 1. Учитывая ограничение, получается $a=2$. Учитывая это получим $$4*3^b-3^{b+1}+4=13$$ . Преобразовав получим $3^b(4-3)=9$

$2^a\cdot 3^b-3^{b+1}+2^a=2^a\cdot 3^b-3\cdot 3^{b}+2^a.$

$2^a\cdot 3^b-3\cdot 3^{b}+2^a-3=10.$

$2^a\cdot 3^b-3\cdot 3^{b}+2^a-3=(2^a-3)(3^b+1)=10.$

$b$ теріс емес бүтін сан болғандықтан, $3^b+1$ саны 10-ның 2-ден кіші емес натурал бөлгіші болады. Сонда барлығы 3 жағдай болады:

$1)3^b+1=2.$ Онда $b=0; 2^a-3=5, a=3.$

$1)3^b+1=5.$ Бүтін шешімі жоқ.

$1)3^b+1=10.$ Онда $b=2; 2^a-3=1, a=2.$

Жауабы: $(3;0), (2;2).$