Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып


Үш түсті міндетті түрде қолданып және кез-келген екі әртүрлі түсті санның қосындысы үшінші түсті (қосылатын сандардың түсінен өзге) болатындай барлық натурал сандарды үш түске (көк, сары және қызыл) бояуға бола ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
7 года 10 месяца назад #

Ответ: Нет, нельзя.

Обозначим цвета как (синий, желтый, красный)=(a,b,c). Без ограничения общности пусть число 1 покрашен в цвет a.

Случай 1: Пусть 2 покрашен в отличный от a цвет, скажем b. Тогда, 3 покрашен в c,4 покрашен в b (4=1+3). С одной стороны, 5 покрашен в c (5=4+1), а с другой покаршен в a (5=2+3)→←

Случай 2: Пусть 2 покрашен a. Тогда, 3 покрашен в другой цвет, например в c,4 покрашен в b (4=1+3). С одной стороны, 5 покрашен в c (5=4+1), а с другой покаршен в b (5=2+3)→←

  0
7 года 10 месяца назад #

Начало хорошее. Не все случаи рассмотрены. Например, если все числа 1, 2 и 3 одного цвета. Или также, когда числа 1, 2, ..., n --- все одного цвета.

  -1
7 года 10 месяца назад #

1+2=3

  -1
7 года 10 месяца назад #

Все понял ошибку

  1
6 года 4 месяца назад #

Допустим что это возможно.Обозначим вид цветов как a,b and c.

a+bc (b+c)+bc, a+(a+c)c,(b+c)+(a+c)c

b+ca

a+cb

Выводим и раскрываем скобки.

2b+cc

2a+cc

2c+(a+b)=2c+cc

Выходит что 2b,2c,2a - покрашены в цвет с, иначе условия не удовлетворятся.Аналогичным образом получаем что 2b,2c,2a - покрашены в цвет b.Но число нельзя покрасить сразу в два а то и даже в три цвета.Противоречие

  2
2 года 3 месяца назад #

Ответ : Нельзя

Есть 3 цвета a,b,c

Допустим что 1 цвета c

Теперь рассмотрим число xa+yb=zc

Находим число z1 получим z1+1c=zc что не устраивает условия задачи, если z1 цвета a или b , значит чтобы условия выполнить , надо z1 был тоже цвета c . Повторяем те же действия с z1 и получаем что и z2 цвета c . Если повторять действия, получим что невозможно удовлетворить условия задачи и все числа будут цвета c.

  0
1 года 3 месяца назад #

Ответ:Невозможно

Допустим мы смогли покрасить числи как сказано в условии

Обозначим синий,желтый и красный как a,b и c

Б.О.О цвет одного a,то существует такая числа х, что цвет отличается от одного.Б.О.О цвет (х)-b,следует что цвет (х+1) с,

То цвет (х+2)-b, то (х+3)-с и тд.

В один момент цвет (2х+1) красим на b либо на с.

Но цвет (х)-b и цвет (х+1)-с,тогда (х+х+1) должен быть покрасен на а-шки.Противоречие.