Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Ответ: Нет, нельзя.
Обозначим цвета как (синий, желтый, красный)=(a,b,c). Без ограничения общности пусть число 1 покрашен в цвет a.
Случай 1: Пусть 2 покрашен в отличный от a цвет, скажем b. Тогда, 3 покрашен в c,4 покрашен в b (4=1+3). С одной стороны, 5 покрашен в c (5=4+1), а с другой покаршен в a (5=2+3)→←
Случай 2: Пусть 2 покрашен a. Тогда, 3 покрашен в другой цвет, например в c,4 покрашен в b (4=1+3). С одной стороны, 5 покрашен в c (5=4+1), а с другой покаршен в b (5=2+3)→←
Допустим что это возможно.Обозначим вид цветов как a,b and c.
a+b⇒c ⇔ (b+c)+b⇒c, a+(a+c)⇒c,(b+c)+(a+c)⇒c
b+c⇒a
a+c⇒b
Выводим и раскрываем скобки.
2b+c⇒c
2a+c⇒c
2c+(a+b)=2c+c⇒c
Выходит что 2b,2c,2a - покрашены в цвет с, иначе условия не удовлетворятся.Аналогичным образом получаем что 2b,2c,2a - покрашены в цвет b.Но число нельзя покрасить сразу в два а то и даже в три цвета.Противоречие
Ответ : Нельзя
Есть 3 цвета a,b,c
Допустим что 1 цвета c
Теперь рассмотрим число xa+yb=zc
Находим число z−1 получим z−1+1c=zc что не устраивает условия задачи, если z−1 цвета a или b , значит чтобы условия выполнить , надо z−1 был тоже цвета c . Повторяем те же действия с z−1 и получаем что и z−2 цвета c . Если повторять действия, получим что невозможно удовлетворить условия задачи и все числа будут цвета c.
Ответ:Невозможно
Допустим мы смогли покрасить числи как сказано в условии
Обозначим синий,желтый и красный как a,b и c
Б.О.О цвет одного a,то существует такая числа х, что цвет отличается от одного.Б.О.О цвет (х)-b,следует что цвет (х+1) с,
То цвет (х+2)-b, то (х+3)-с и тд.
В один момент цвет (2х+1) красим на b либо на с.
Но цвет (х)-b и цвет (х+1)-с,тогда (х+х+1) должен быть покрасен на а-шки.Противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.