Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып
ABCD — тіктөртбұрыш. Центрі D нүктесі және радиусы DA болатын шеңбер AD қабырғасының созындысын P нүктесінде қияды. PC түзуі шеңберді екінші рет Q нүктесінде, ал AB түзуін R нүктесінде қияды. BQ=BR екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Из равенства треугольников \triangle CPD = \triangle RCB следует DC=BR=AB, то есть QB - медиана треугольника AQR, \angle AQP=90^\circ так как угол, опирающийся на диаметр - прямой, следовательно \triangle AQR прямоугольный, а так как QB медиана,проведенная на гипотенузу BQ=BR
Пусть ∠QAD=α. ∠AQP=90∘, как опирающийся на диаметр AP. Тогда ∠APQ=90∘−α. Треугольники △ADQ и △PDQ равнобедренные, т.к. AQ,DQ,DP- радиусы. ∠DAQ=∠AQD=α; ∠DQP=∠QPD=90∘−α. ∠QDP=2α, ∠CDQ=90∘−2α. Пусть BQ пересекает CD в точке F .
∠BFC=2α=∠QFD=>∠FQD=90∘=>∠BQR=α.
∠ARP=α=∠BRQ=>∠BRQ=∠BQR=α=>△RBQ равнобедренный,=>BR=BQ◻.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.