Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып


ABCD — тіктөртбұрыш. Центрі D нүктесі және радиусы DA болатын шеңбер AD қабырғасының созындысын P нүктесінде қияды. PC түзуі шеңберді екінші рет Q нүктесінде, ал AB түзуін R нүктесінде қияды. BQ=BR екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   3
6 года 5 месяца назад #

Из условия следует что AQR=90 и BR=AB Значит BQ Медиана треугольника ARQ откуда BQ=BR.

  -1
7 года 4 месяца назад #

Из равенства треугольников \triangle CPD = \triangle RCB следует DC=BR=AB, то есть QB - медиана треугольника AQR, \angle AQP=90^\circ так как угол, опирающийся на диаметр - прямой, следовательно \triangle AQR прямоугольный, а так как QB медиана,проведенная на гипотенузу BQ=BR

  0
5 года 3 месяца назад #

Пусть QAD=α. AQP=90, как опирающийся на диаметр AP. Тогда APQ=90α. Треугольники ADQ и PDQ равнобедренные, т.к. AQ,DQ,DP- радиусы. DAQ=AQD=α; DQP=QPD=90α. QDP=2α, CDQ=902α. Пусть BQ пересекает CD в точке F .

BFC=2α=QFD=>FQD=90=>BQR=α.

ARP=α=BRQ=>BRQ=BQR=α=>RBQ равнобедренный,=>BR=BQ.