Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып

Бір түзу бойынан әртүрлі төрт нүкте белгіленген. Осы нүктелердің әрқайсысынан қалған үш нүктеге дейінгі қашықтықтардың қосындысы есептелінеді. Соңындағы нәтиже ретінде келесі төрт сан шығуы мүмкін бе?
а) 29, 29, 35, 37;
б) 28, 29, 35, 37;
в) 28, 34, 34, 37.

Комментарий/решение

Допустим есть 4 точки. A, B, C, D. AB=a. BC=b. CD=c. c>a

Для A) 3a+2b+c

Для B и С) a+2b+c

Для D) a+2b+3c

a)

3a+2b+c=35

a+2b+c=29

a+2b+3c=37

(3a+2b+c=35)-(a+2b+c=29)=(2a=6)

a=3

(a+2b+3c=37)-(a+2b+c=29)=(2c=8)

c=4

Подставляя выясняем что b=11

При проверке подходит. Но в данном наборе равны суммы расстояний точек A и В, а не B и С. Такая четверка может образоваться, но не в этой последовательности. Если последовательность не важна, то да может.

b)

Сразу видим что не подходит ибо сумма расстояний для точки В и С равны, а в данном наборе нету равных.

с)

Такие же действия как и в a) приводят нас к тому что данный набор невозможен т.к 1 из отрезком отрицательный, даже если убрать минус, то нарушится установленное нами условие с>a