Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып

$\left( {{1}^{4}}+{{1}^{2}}+1 \right)\left( {{2}^{4}}+{{2}^{2}}+1 \right)\ldots \left( {{n}^{4}}+{{n}^{2}}+1 \right)$ өрнегінің мәні ешбір натурал $n$ үшін толық квадрат болмайтынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

$n^4+n^2+1=(n^2+n+1)(n^2-n+1)$ , оба множителя простые , при любых $n \in N$ . Так же отметим что у двух последующих чисел , множители совпадают , так как $(n^2+n+1)=((n+1)^2-(n+1)+1)$ (1) , то есть в итоге , число представиться в виде $((n-x)^2-(n-x)+1)*y^2*(n^2+n+1)$ , где $y^2$ произведение делителей от числа $n=1$ до $1+x$ из условия (1). Осталось доказать что $(n-x)^2-n-x)+1=n^2+n+1$ , $x=2n$, но $n>x$ , противоречие . Откуда вытекает требуемое