Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып


Дөңес ABCDE бесбұрышында AB=BC және BCD=EAB=90. Бесбұрыштың ішінен AXBE және CXBD болатындай етіп X нүктесі алынған. BXDE болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   2
9 года 3 месяца назад #

Положим что это верно, то есть BXDE , тогда рассмотрим четырехугольник BXNH , заметим то что около него можно описать окружность,тогда XHN=XBN;XNH=XBH,из условия того, что они опираются соответственно на одну и ту же дугу.Тогда треугольники ΔBHN;ΔBCD подобны ,откуда BHBD=BNBE;BHBE=BNBD.Осталось доказать это, из попарно подобных треугольников ΔEAB;ΔAHB , ΔBCD;ΔCNB,то есть ABBH=BEABABBN=BDAB

Откуда BHBE=BNBD , то есть условие верное, откуда следует действительность доказываемого .

  2
1 года 10 месяца назад #

Известный факт: диагонали четырёхугольника (даже невыпуклого) перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Тогда имеют места следующие равенства:

EX2+AB2=XB2+AE2

XD2+BC2=XB2+CD2

При вычитании получаем:

EX2+CD2=AE2+XD2, прибавив к обеим частям AB2 по теореме Пифагора имеем:

EX2+DB2=XD2+EB2, тем самым BXDE.