Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Положим что это верно, то есть BX⊥DE , тогда рассмотрим четырехугольник BXNH , заметим то что около него можно описать окружность,тогда ∠XHN=∠XBN;∠XNH=∠XBH,из условия того, что они опираются соответственно на одну и ту же дугу.Тогда треугольники ΔBHN;ΔBCD подобны ,откуда BHBD=BNBE;BH∗BE=BN∗BD.Осталось доказать это, из попарно подобных треугольников ΔEAB;ΔAHB , ΔBCD;ΔCNB,то есть ABBH=BEABABBN=BDAB
Откуда BH∗BE=BN∗BD , то есть условие верное, откуда следует действительность доказываемого .
Известный факт: диагонали четырёхугольника (даже невыпуклого) перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
Тогда имеют места следующие равенства:
EX2+AB2=XB2+AE2
XD2+BC2=XB2+CD2
При вычитании получаем:
EX2+CD2=AE2+XD2, прибавив к обеим частям AB2 по теореме Пифагора имеем:
EX2+DB2=XD2+EB2, тем самым BX⊥DE.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.