Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып

Нақты сандардың ${{u}_{1}},{{u}_{2}},\ldots$ ақырсыз тізбегі былайша анықталған: ${{u}_{1}}=1$ және $n > 1$ үшін ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{{{u}_{1}}+\ldots +{{u}_{n-1}}}$. Қандай да бір натурал $N$ үшін ${{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\ldots +{{u}_{N}} > 2013$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть для всех $n$ сумма $u_1+...+u_n\le 2013$. Тогда $u_n=\frac{1}{u_1+...+u_{n-1}}\ge \frac{1}{2013}$. Следовательно уже сумма $u_n+u_{n+1}...+u_{n+2014^2}$ (то есть $2014^2$ последовательных членов) будет не меньше $2014^2 \cdot \frac{1}{2013}$, что больше 2013.