Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып

Тышқан 27 бірлік кубиктерге бөлінген, қыры 3-ке тең куб пішінді ірімшікті жей бастады. Тышқан бір кубикті жеп бітірген соң, осы кубикпен ортақ қыры бар кубиктердің келесі біреуін жеуге көшеді. Тышқан осы кубтың центрінде орналасқан кубиктен басқа кубиктердің бәрін жеп шыға ала ма?

Комментарий/решение

$Ответ: нет$

Покрасим данный куб в шахматном порядке. Пусть единичный кубик в центре будет покрашен в белый цвет. И будем красить остальные кубики так: кубики которые имеют общие грань будут покрашены в разные цвета. Тогда если удалить кубик в центре из 26 единичных кубиков $14 $ будут чёрными, а $12 $белыми. Но так как когда мышка ест кубики она переходит из былого кубика в чёрный. Но разность белых и чёрных кубиков больше $1,$ значит она не сможет съесть все кубики.