Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып

$10^x+11^x+12^x=13^x+14^x$ теңдеуінің нақты шешімін табыңыздар.

Комментарий/решение

b_Ответ: $x=2$._b

$13^x>0$ болғандықтан теңдеуді келесідей жазуға болады: $\left ( \frac{10}{13} \right )^x+\left ( \frac{11}{13} \right )^x+\left ( \frac{10}{13} \right )^x=1+\left ( \frac{14}{13} \right )^x.$

$a>1$ болғанда $f(x)=a^x$ функциясы өспелі, $a<1$ болғанда кемімелі.

$f_{1}(x)=\left ( \frac{10}{13} \right )^x+\left ( \frac{11}{13} \right )^x+\left ( \frac{10}{13} \right )^x$- кемімелі функция.

$f_{2}(x)=1+\left ( \frac{14}{13} \right )^x$- өспелі функция.

$f_{1}(x)$ және $f_{2}(x)$ функцияларының графиктері бірден көп емес нүктеде қиылысады. Онда $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ теңдеуінің бірден артық емес шешімі бар. $x=2$ теңдеудің шешімі екенін көруге болады.