Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Ответ: таких пятерок не существует.
Решение. Начнем с того, что , раз правая сторона чётна, то и левая четна. Вспомним, что четвертая степень нечётного числа нечетна. Но пять нечетных чисел в сумме дадут нечетное число. Значит, среди них есть четное число. Единственное четное простое число это 2. Также вспомним, что произведение двух последовательных чисел делится на 8 (доказать этого я не могу). Это значит, что и левая часть делится на 8. Два в четвертой степени делится на 8. Значит, сумма оставшихся четырех четвертых степеней делится на 8. Четвертая степень простого числа дает остаток 1 по модулю 8. А это значит, что левая часть не делится на 8
b_Лемма 1._b Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.
◻ Пусть 2n и 2(n+1) - два последовательных четных числа, тогда получим, 2n⋅2(n+1)=4n(n+1). Так как n и n+1 - два последовательных числа, то 2∣n(n+1), значит 8∣2n⋅2(n+1). ◼
b_Лемма 2._b p^4 \equiv 1 \pmod{8}, где p\geqslant 3 - простое число.
\square Так как (p,8)=1, то по теореме Эйлера получим, p^{\phi(8)} \equiv 1 \pmod{8} или p^4 \equiv 1 \pmod{8}. \blacksquare
Среди двух последовательных четных чисел одно делится на 2, одно на 4, поэтому их произведение делится на 8.
Четвертая степень нечетного числа дает остаток 1, а четного 0, при делении на 8. Поэтому данная сумма в задаче может давать остатки только от 0 до 5, при делении на 8. При этом, остаток 0 возможен только при {{q}_{1}}={{q}_{2}}={{q}_{3}}={{q}_{4}}={{q}_{5}}=2, так как среди четных чисел только 2 является простым. Получатся, q_{1}^{4}+q_{2}^{4}+q_{3}^{4}+q_{4}^{4}+q_{5}^{4}=5\cdot 16=80=8\cdot 10.
пусть эти числа a,b,c,d,e тогда логично что нечетных чисел четное колво пусть все числа равны двум тогда понимаем что будет равно произведению 10*8 допустим только 3 числа двум тогда 48+a^4+b^4=4x^2+4x т.к. 16+ a^4+b^4 \equiv 2 \pmod {4}
т.к. a и b простые ,тогда таких a и b нету отсюда понимаем что есть только одно чет 16+a^4+b^4+c^4+d^4 = 4x^2+4x $
16+a^4+b^4+c^4+d^4\equiv 4 \pmod {8} т.к a,b,c и d простые
отсюда понимаем что такик Х нету значит только один ответ где все они равны 2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.