30-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Румыния, 2026 год

Найдите все пары положительных целых чисел $(a,b)$, для которых число $a+1$ делит число $b+2$, а число $b$ делит число $2a^2$. ( Ануарбеков Т. )

Комментарий/решение

Пусть $a = dx$, $b = dy$, $d = (a,b)$, $(x,y)=1$. Тогда $dx + 1 \mid dy + 2$, $dx + 1 \mid d(y-x)+1$, $dx+1 \mid d(y-2x)$, $(d, dx+1)=1$, значит $dx+1 \mid y-2x = k$. При $k=0$, $y=2x$, что подходит, откуда $(n,2n)$. При $k>0$, $dx+1 \le y-2x$, $y \ge x(d+2)+1$, также $dy \mid 2d^2x^2$, $y \mid 2dx^2$, $(x^2,y)=1$, $y \mid 2d$, $x(d+2)+1 \le 2d$, $x \le \frac{2d-1}{d+2} < 2$, $x=1$. $2d = yn$, $\frac{yn}{2}+1 \mid y-2$, при $n \ge 2$: $\frac{yn}{2}+1 \ge y+1 > y-2$, если не $y=2$. Значит $n=1$, $2d=y$. $a=d$, $b=dy=2d^2$, $d+1 \mid 2d^2+2$, $d+1 \mid 2(d+1)^2 - (2d^2+2) = 2d$, отсюда $d=1$ или $3$. Итак, $(a,b)=(1,2),(3,18)$. При $k<0$, $dx+1 \le 2x-y$, $1 \le y \le x(2-d)-1$, $d=1$. $y \mid 2d = 2$. Отсюда $b=1$ или $b=2$, подставляем, находим $(a,b)=(2,1),(3,2)$.

Ответ: $(a,b)=(2,1),(3,2),(3,18),(n,2n)$ для всякого $n \in \mathbb N$.

Сэр, вы забыли корень $ (a;b) = (1;2) $

То есть $(1,2)$ не имеет вид $(n,2n)$?

признаю ошибку

Пусть $ 2a^2 = bk $. Не сложно заметить, что $ a+1 | 2a^2 + 2a $. Тогда $ a +1 | b - 2a $(назовем это свойством $1$).

При $ b = 2a $ получаем требуемое, то есть $ (a;b) = (n,2n) $ подходят, $ n \in \mathbb{N} $.

При $ b > 2a $ получаем $ k < a $. Умножим свойство $1$ на $k$, тогда $$ 2a^2 - 2ak \equiv 2a - 2k \equiv -2 -2k \equiv 0 \equiv 2k + 2 \pmod {a + 1} $$. Но $ 0 < 2k + 2 < 2(a+1) $, тогда $2k + 2 = a +1$, $a = 2k + 1$, $k | 2a^2 = 8k^2 + 8k + 2$, $k | 2 $. Отсюда выводим корень $ (a;b) = (3;18) $.

При $ b < 2a $ получаем $$ 0 < 2a - b < 2a + 2 $$. Тогда $2a - b = a + 1$, $b = a - 1$, $a-1 | 2a^2$, $a - 1 | 2$. Отсюда выводим корни $(a;b) = { (2;1),(3,2) }$.

Ответ: $(a;b) = { (2;1),(3,2),(3;18),(n;2n) }$, где $ n \in \mathbb{N} $.

Т.к 2a² ⋮ b то b>=2a²

(b+2)/(a+1)=(2ab+4a)/(2a²+2a)=<(4a²+4a)/(2a²+2a)=2

b+2=a+1

b=a-1

2a² ⋮ (a-1)

2a²=2((a-1)² + 2(a-1) + 1)

2 ⋮ a-1

1) a=2 b=1

2) a=3

18 ⋮ b

(b+2) ⋮ 4

b= 2, 18

b+2=2a+2

b=2a

Ответ: (2;1) , (3;2) , (3;18), (n; 2n) n — целое положительное

Прошу прощенения, строгость хромает.

2a² >= b

b>=2a

2ab+4a =< 4a²+4a

Нужно еще разобрать случай когда 2a>b

Но

b+2 >= a +1

b >= a-1

b>a

Значит решение норм

Мое решение на туре

По условию $\frac{b+2}{a+1}$ и $\frac{2a^2}{b}$ целые, поэтому их произведение тоже целое $\frac{2a^2(b+2)}{b(a+1)}=(1+\frac{2}{b})(2a-2+\frac{2}{a+1}).$Понятно ,что это значение больше $2a-2$. И из первой делимости $b\geq a-1$, поэтому это число не больше $(1+\frac{2}{a-1})(2a-2+\frac{2}{a+1})=\frac{2a^2}{a-1}=2a+2+\frac{2}{a-1}$

$a\geq4$:

$2a+2+\frac{2}{a-1}<2a+3$, поэтому данное число может принимать значения $2a-1, 2a, 2a+1, 2a+2$.

$\frac{2a^2(b+2)}{b(a+1)}=2a-1$:

$2ba^2+4a^2=2ba^2+2ab-ab-b \rightarrow 4a^2=ab-b \rightarrow \frac{4a^2}{a-1}$ целое, откуда $\frac{4}{a-1}$ целый и $a=5, b=25$ но при подставке в условие первая делимость не выполняется

$\frac{2a^2(b+2)}{b(a+1)}=2a$:

$2ba^2+4a^2=2ba^2+2ab \rightarrow b=2a$ подходит

$\frac{2a^2(b+2)}{b(a+1)}=2a+1$:

$2ba^2+4a^2=2ba^2+2ab+ab+b \rightarrow 4a^2=b(3a+1) \rightarrow \frac{4a^2}{3a+1}$ целый, значит $(4a-1)(3a+1)-12a^2=a-1$ кратен $3a+1$, но он не равен $0$ и меньше, чем $3a+1$.

$\frac{2a^2(b+2)}{b(a+1)}=2a+2$:

$2ba^2+4a^2=2ba^2+4ab+2b \rightarrow 2a^2=(2a+1)b \rightarrow \frac{2a^2}{2a+1}=a-\frac{a}{2a+1}$ целый, но $0<a<2a+1$.

Для $a<4$ перебором получаем пары (3, 18), (3,2), (2,1) и оставшиеся пары вида (a,2a)

Ответ (a, b)= (k,2k), (3,18), (3,2), (2,1)