Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы (мұнда $\mathbb{R}$ нақты сандар жиынын белгілейді) кез келген нақты $x$ үшін $f\left( f\left( x \right) \right)={{x}^{\text{2}}}f\left( x \right)-x+\text{1}$ тепе-теңдігін қанағаттандыратын болса, $f(1)$-ді табыңдар.

Комментарий/решение

$f(x)=1, f(1)=x^2-x+1$, $f(x)=2,f(2)=2x^2-x+1 ... \ \ f(x)=n,f(n)=nx^2-x+1$ то есть получим что $nx^2-x+1=n$ , $x=1,x=\dfrac{1-n}{n}$. Значит $f(1)=1$

В этой задаче не дано что этапа функция сюръективна.

Да, вы правы, надо удалить.

$Ответ: f(1)=1; (-1$$\pm $$\sqrt{5})/2$

Если $x=1$, тогда $f(f(1))=f(1)$. Если $x=f(1)$, тогда, $f(1)=f(1)^3-f(1)+1$ Или $0=(f(1)-1)(f(1)^2+f(1)-1)$.

А что если f(a)(a + b) = 1 ?

Моё решение не правильно, сейчас исправлю.