Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.

Среди натуральных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 3, а при делении на 9 — остаток 6, найдите разность между наибольшим и наименьшим трёхзначными числами.

Комментарий/решение

Max - 969

Min - 150

969 - 150=819

Ответ:819

Уважаемый султан, я бы очень хотел чтобы вы удалили свое ужасно написанное решение.

Обозначим числа которые удовлетворяют условие как $x$.Тогда по условии:

$x\equiv3 \pmod 7 (1)$

$x\equiv6 \pmod 9 (2)$

Из $(1)$ $x=7k+3$.Подставим в $(2)$:

$7k+3\equiv6 \pmod 9$

$7k\equiv3 \pmod 9$

Умножим обе части на $4$:

$27k+k\equiv9+3 \pmod 9$

$k\equiv3 \pmod 9$

значит $k=9a+3$

подставим это значение для $x$:

$x=7(9a+3)+3=63a+24$.

а это значит что

$x\equiv24 \pmod 63 $.

теперь очевидно что наименьший $x$ будет при $a=2$

$x(min)=63×2+24=150$

$x(max)=63×15+24=969$

$969-150=819.$