Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2026 год. Франция

Дано натуральное число $n$. Мэри играет в игру. Первоначально на школьной доске записано число 1. За один ход Мэри может выбрать натуральное число $j$ такое, что $1 \leq j \leq n$, и заменить число $V$, записанное на школьной доске, на число $j \cdot R\left(\frac{V}{j}\right)$. Мэри может сделать столько ходов, сколько она захочет. Здесь $R(x)$ обозначает целое число, ближайшее к $x$; если $x$ является средним арифметическим двух последовательных целых, то оно округляется до большего из этих чисел. Например, $R(1{,}3)=1$ и $R(1{,}5)=R(1{,}8)=2$.
   a) Докажите, что для каждого заданного значения $n$ существует такое натуральное $B$, что Мэри никогда не сможет получить на доске число, большее $B$.
   b) Для любого заданного $n$ обозначим через $f(n)$ наибольшее число, которое Мэри может записать на доске за конечное число ходов. Докажите, что существует натуральное число $N$ такое, что для любого $n \geq N$ число $f(n)$ делится на 2026.