Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2026 год. Франция

Натурал $n$ саны берілген. Мэри келесі ойын ойнайды. Бастапқыда тақтаға $1$ саны жазылған. Бір жүрісте Мэри $1 \leq j \leq n$ шартын қанағаттандыратын натурал $j$ санын таңдап, тақтадағы $V$ санын $j \cdot R\left(\frac{V}{j}\right)$ санына ауыстыра алады. Мэри қалағанынша көп жүріс жасай алады. Мұндағы $R(x)$ — $x$-ке ең жақын бүтін сан; егер $x$ екі көршілес бүтін сандардың арифметикалық ортасы болса, онда үлкеніне дейін жуықтайды. Мысалы, $R(1{,}3)=1$ және $R(1{,}5)=R(1{,}8)=2$.
   а) Әрбір $n$ үшін сондай натурал $B$ саны бар екенін дәлелдеңіз, яғни Мэри ешқашан тақтада $B$-ден үлкен сан ала алмайды.
   б) Әрбір $n$ үшін $f(n)$ — Мэри шектеулі жүрістер саны арқылы тақтада жаза алатын ең үлкен сан болсын. Сонда, барлық $n \geq N$ үшін $f(n)$ саны $2026$-ға бөлінетіндей, натурал $N$ саны бар екенін дәлелдеңіз,.