Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, II тур заключительного этапа

Натурал $n$ санының барлық бөлгіштерін өсу ретімен бір қатарға жазған. Осы қатардағы бөлгіш әдемі деп аталады, егер ол сол жағында тұрған көрші бөлгішке бөлінсе. Егер $n$-нің әдемі бөлгіштерінің саны тақ болса, онда $n$ санын $pm^2$ түрінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіз, мұндағы $p$ — жай сан, ал $m$ — натурал сан.

Комментарий/решение

Пусть $d_1 < d_2 < \dots < d_k$ — все делители $n$. Заметим, что для любого $i$: $d_i \times d_{k+1-i} = n$. Тогда $d_{i-1} \mid d_i \iff \frac{n}{d_i} \mid \frac{n}{d_{i-1}} \iff d_{k+1-i} \mid d_{k+2-i}$, т.е. $d_i$ красив $\iff d_{k+2-i}$ красив. Тогда все красивые делители разбиваются на пары, и общее число красивых делителей делится на $2$, только если в какой-то паре не совпадают делители $\iff i = k+2-i \iff i = \frac{k+2}{2}$ — индекс красивого делителя. Значит $d_{k/2} \mid d_{k/2+1}$; заменим их на $a \mid b$ соответственно. Заметим, что $2 \mid k$. $n = ab$ и $b = ap$ для некоторого целого $p > 1$. Так как $a$ и $b$ — соседние делители $n$, то между ними нет других делителей. Если бы $p$ был составным, то существует его делитель $q > 1$, но тогда $aq$ — делитель $n$ (т.к. $n/aq = b/q = ap/q$ и $q \mid p$). Кроме того, $a < aq < ap = b$, противоречие, значит $p$ простой. Потому $n = ab = a \times ap = a^2 p$. $\blacksquare$

Вот фрик

Нуда