Республиканская олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

Дано целое число $n\ge 2$ и положительные действительные числа $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots$, $a_n,b_n$ такие, что \[\frac{a_k^2 + 1}{b_k}\ge b_1+b_2+\cdots + b_n \quad \text{и} \quad \frac{b_k^2 + 1}{a_k}\ge a_1+a_2+\cdots + a_n \] для каждого $k=1,2,\ldots,n$. Докажите, что $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_n-b_n|\le \sqrt{8n}$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Утверждение: пару $(a_i,b_i) $ можно заменить на $(a_i-C, b_i-C)$

\[\]

Доказательство:

\[\color{red}{(\ !\ )} \ \dfrac{(a_i-C)^2+1}{b_i-C}+C \geq \dfrac{a_i^2+1}{b_i} \geq \sum \limits_{j=1}^{n} b_j\]

Это тоже что и $:$

\[\color{red}{(\ !\ )} \ \dfrac{a_i^2-2a_iC+b_iC+1}{a_i^2+1} \geq \dfrac{b_i-C}{b_i} \to \dfrac{a_i^2+1}{b^i} \geq 2a_i-b_i \to \dfrac{(a_i-b_i)^2+1}{b_i} \geq 0 \quad \blacksquare\]

\[\]

Тогда заменим все пары $(a_i,b_i) \to (a_i - \min{(a_i,b_i)}, b_i - \min{(a_i,b_i)}):$

\[\]

Введем множество:

\[A = \{ \ i \mid a_i>b_i \ \}\]

Аналогично определим и множество $B:$

\[\forall \ i\in A \mid \dfrac{1}{a_i-b_i} \geq \sum \limits_{t\in A}^{} (a_t-b_t) \to 1 \geq (a_i-b_i)\cdot \left (\sum \limits_{t\in A}^{} (a_t-b_t)\right )\]

Данное можно перезаписать как:

\[\mid A \mid \geq \left (\sum \limits_{t\in A}^{} (a_t-b_t)\right )^2 \to \sqrt{ \mid A \mid } \geq\sum \limits_{t\in A}^{} (a_t-b_t)\]

Аналогично для $B:$

\[\sum \limits_{t=1}^{n} (a_t-b_t) = \sum \limits_{t\in A}^{} (a_t-b_t)+\sum \limits_{t\in B}^{} (b_t-a_t) \leq \sqrt{ \mid A \mid }+\sqrt{ \mid B \mid }\leq \sqrt{2\cdot \left ( \mid A \mid + \mid B \mid \right ) }\leq \sqrt{2n}\]

я согласен