Республиканская олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

Существует ли бесконечное множество $S$ натуральных чисел, удовлетворяющее следующим двум условиям:
   (i) $\text{НОД}(a_1,a_2,\ldots,a_{100})=1$ для всех попарно различных $a_1,a_2,\ldots,a_{100}\in S$;
   (ii) для каждого $x\in S$ найдется такое $y\in S$, что $x^2$ делится на $x+y+2026$? ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Условие (ii) аналогична тому что $(y+2026)^2$ делится на $x+y+2026$ для пары $(x,y)$ где $y$ подобран к любому $x\in S$, пусть это свойство (iii). Из условия (i) выходит что количество четных конечно, но (ii) дает что для нечетного $x$ число $y$ четное, тогда для какого-то четного $y$ существует бесконечно много нечетных $x$ выполняющих (iii) что невозможно так как $(y+2026)^2$ конечное число но делится на бесконечно много различных чисел $x+y+2026$.